بینهایت های کوچکتر و بزرگتر و باقی قضایا !

ریاضی علم عجیبی است ... سوژه برای فکر کردن های طولانی هم زیاد دارد ، هر چه بگردی ، هر چه خوره ریاضی باشی ، باز هم مطلبی چشم تو را میگیرد و به اصطلاح " کفت میبرد " ! یکی از این مسائل که مدت هاست ریاضی دانان را " کف بر " کرده ، مفهوم " بینهایت " هست . ساده ترین تعریفی که میتوان از بینهایت کرد ، این است که : " بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است " . تعاریف متنوع دیگری هم از بینهایت میشوند ، مثلا تعریف ریچارد ددکیند و یا جورج کانتور ؛ اما در این پست ، من با جورج کانتور و تعاریفش کار دارم .

براساس نظریه کانتور، مجموعه A را k عضوی گوییم () هرگاه یک تناظر یک به یک بین A و مجموعه وجود داشته باشد. مجموعه متناهی مجموعه‌ایست که یا تهی باشد و یا (به ازای یک ،) k عضوی باشد. و بالاخره مجموعه نامتناهی مجموعه‌ایست که متناهی نباشد. ( + )

نظریه مجموعه های کانتور ، واقعا انقلابی در ریاضیات بود که البته یکی از مباحث مورد علاقه من هم هست . با استفاده از نظریه مجموعه ها نه تنها میتوان تعریفی چنین قدرتمند از بینهایت کرد ، حتی میتوان مسائل دیگری را هم کشف کرد که موضوع این پست من است ، البته هنوز این مقدمه چینی طولانی تمام نشده و نیاز به چند تعریف دیگر هم داریم و البته باید هم بگویم در این پست از این نماد ( * ) به جای نماد ضرب استفاده میکنم .

عدد اصلی : تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند .
مجموعه شمارا ( تعریف ابتدایی و ناقص ) : اگر بتوان بین اعضای یک مجموعه و زیرمجموعه‌ای از اعداد طبیعی تناظر یک‌به‌یک برقرار کرد ، یا به عبارتی دیگر ، اگر بتوان عضو بعدی و یا قبلی اعضای یک مجموعه خاص را مشخص کرد ، آن مجموعه را مجموعه ای شمارا مینامند .
مجموعه ناشمارا : نقیض " مجموعه شمارا " .
مجموعه هم ارز : دو مجموعه هم ارز ، دو مجموعه ای هستند که بین اعضای آنها تناظر یک به یک برقرار باشد .

هر گاه بخواهیم ساده ترین تعریف بینهایت ( بینهایت مقداریست که از هر مقدار دیگر بیشتر است ) و حتی تعاریف رایج دیگر را ملاک قرار بدهیم و آنگاه مجموعه ها را با یکدیگر مقایسه کنیم ، آنگاه متوجه تفاوت بین مجموعه های نامتناهی میشویم ! مثلا مجموعه اعداد طبیعی را با مجموعه اعداد حقیقی مقایسه کنید ، آیا با هم برابرند ؟ آیا " عدد اصلی " آنان یکسان است ؟
به داستان زیر توجه کنید :

هتل انتهای کیهان ، " هتل بینهایت " است . مالک هتل ، زک بیزیباد ، برای هر مهمانی که وارد میشود دو اتاق جدید میسازد . مهمانها هتل را دوست دارند چون میدانند که هر وقت گذارشان به آنجا بیفتد ، اتاق خالی پیدا میکنند . هری ، شریک تجاری زک این وضع را میبیند و به فکر یک کاسبی پر در آمد می افتد . پس از شرکت زک بیرون می آید و " هتل بزرگتر از بینهایت " را میسازد . او نیز میداند که هتل او باید بزرگتر از هتل زک باشد وگرنه کسی به سراغ او نمی آید ؛ ایده جنجالی او این بود که به ازای هر مهمان ، به تعداد اتاق های قبلی ، اتاق بسازد و برای مهمانان آینده ذخیره کند ، کیهان هم که تا دلت بخواهد بزرگ است ...
زک تا نام هتل هری را میشنود و پایش را به شورای موازین تبلیغات میکشد ، با این حساب که هرگز نمیتوان بیش از بینهایت ، چیزی داشت ، هری هم میگوید اتاق های من واقعا بیشتر از زک هستند ، مثلا شما تعداد اتاق های حمام دار را حساب کنید ( در تمامی هتل های کیهانی هر دو اتاق ، یک حمام دارد ) ، تعداد اتاق های حمام دار من بسیار بیش از زک هستند ...
حال شورا باید حرف کدام یک را قبول کند ؟ زک یا هری ؟

در مقایسه بین مجموعه ی بینهایت عضوی طبیعی و مجموعه بینهایت عضوی حقیقی هم این سوال برای ما پیش می آید که آیا با هم برابر هستند یا خیر .با چند روش میتوان اثبات کرد که مجموعه بینهایت عضوی حقیقی از مجموعه بینهایت عضوی طبیعی بیشتر است ! البته اثبات واقعی را در اینجا درج نمیکنم چون تنها مطالبی را در اینجا مینویسم که ذهن عقب مانده ام قادر به درکش باشد ، پس شما نوابغ اثباتش را جای دیگر بخوانید .... ساده ترین اثبات از طریق مجموعه های شمارا و ناشمارا و قاعده هم ارزی سال سوم راهنمایی میباشد . با احتساب این قضایا و دانستن این که مجموعه اعداد طبیعی شمارا بوده است و مجموعه اعداد حقیقی ناشمارا و اینکه قاعدتا این دو مجموعه با هم ، هم ارز نیستند . میتوان نتیجه گرفت که مجموعه اعدادحقیقی ( یا حتی پاره ای از آن ؛ مثلا مجموعه اعداد حقیقی بین یک و دو ) بزرگتر از مجموعه اعداد طبیعی میباشد . حالا کانتور متوجه شد که دیگر علامت کارایی ندارد ! چون این علامت مشخص نمیکند کدام بینهایت بزرگتر از بقیه هست ! لذا کانتور بینهایت اعداد طبیعی را با aleph-0 مشخص کرد و بینهایت های بزرگتر از آن را با aleph-1 و ... مشخص نمود . البته سوالی که هیچ وقت کانتور نتوانست به آن پاسخ بدهد این بود که بینهایت اعداد حقیقی چه بینهایتی هست ؟ aleph-1 است ؟ aleph-1000 است ؟ که البته هیچ وقت نتوانست به این سوال پاسخ دهد ، دیگران هم نتوانستند .
از این سوال لاینحل که بگذریم ،بدست آوردن حاصل جمع و ضرب و تفریق این نوع بینهایت ها به لطف دانشمندانی چون " ساهارون شلا " کاملا ساده است و حاصل آن اغلب بینهایت بزرگتر است . مثلا :

aleph-100 + aleph-2 = aleph-100
aleph-12656 * aleph-4617 = aleph-12656
aleph-87 - aleph-56 = aleph-87

شلا کارهای جالبی با این جمع و تفریقها کرد که درپایین به یکی از آنها اشاره میکنم ، اما بدون اثبات چرا که بیانشان را در حد خود و این وبلاگ نمیبینم :

aleph-1 * aleph-2 * aleph-3 * ... < aleph-aleph-4

شلا با این کار ثابت کرد اگر ما بینهایت ها را بینهایت مرتبه و تا مرتبه بینهایت ام در همدیگر ضرب کنیم ، حاصل باز هم بزرگترین بینهایت نبوده و همواره بینهایت هایی بزرگتر از آن وجود دارند . البته من در اینجا یاد قضیه برتراند راسل و سر و کله زدن با این مسئله - آیا کله پادشاه فعلی فرانسه تاس است ؟ - می افتم ، چون اگر ما تمام بینهایت ها را هر بلایی سرشان بیاوریم ، باز هم نباید بزرگترین بینهایت شوند ، چرا که آن وقت مفهوم بینهایت پیدا نمیکنند ! به عبارت دیگر ، مقدار بزرگترین بینهایت همواره از هر مقدار دیگری ، حتی مجموع حاصلضرب ها بیشتر خواهد بود . جالب است بدانید که شلا ، با این کارش ، بلایی بر سر یکی از سر فصل های کانتور به نام " بینهایت مطلق " هم آورد و آن را رد کرد .
بینهایت مطلق کانتور این بود که وی عقیده داشت از اتحاد تمامی الف ها ، بینهایتی پدید می آید که تمامی بینهایت های دیگر را هم در بر میگیرد . که شلا آن را رد کرده و این دلیل را برایش آورد که هر تلاشی برای توصیف بینهایت مطلق ، همواره به توصیفی کوچکتر می انجامد .
هنوز هم ناشناخته ها در زمینه " بینهایت " بسیار زیاد است . جدیدترین اکتشافاتی که در زمینه بینهایت شده از " جان کانوی " ، ریاضیدان انگلیسی دانشگاه پرینستون بوده که گونه جدیدی از اعداد موسوم به اعداد فراواقعی ( Surreal Numbers ) را کشف کرد که در نتیجه این کشف ، ریاضیدانان میتوانند بدون این که پاسخی بی معنی بگیرند ، مثلا ریشه دوم بینهایت را محاسبه کنند !

پی نوشت یک : آن داستان را از کتاب " 101 مسئله فلسفی " اثر " مارتین کوهن " و ترجمه " امیر غلامی " با اندکی تغییر در آوردم . جالب است بدانید که این هتل حکایتی جالبتر از این هم دارد ! مثلا هتلی که تعداد اتاقهایش aleph-0 هست را " هتل هیلبرت " مینامند که از دسته گل های دیوید هیلبرت است .
پی نوشت دو : تعریف ریچارد ددکیند برای بینهایت این بود که هر چیزی که اصل اقلیدس - هر کل از هر جزء خود اکیدا بزرگتر است - برای آن صادق نباشد بینهایت است ، مثل مجموعه اعداد طبیعی که جزئی از مجموعه اعداد صحیح هستند ، اما با هم برابرند . از نگاهی دیگر ، با تعریف ددکیند بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خود هم اندازه باشد .
پی نوشت سه : در نوشتن قسمت های مربوط به " ساهارون شلا " ، از شماره 542 مجله دانشمند نیز استفاده بردم .
پی نوشت چهار : واقعا مسخره نیست که در زبان فارسی هیچ مطلب به درد بخوری راجع به اعداد فراواقعی ، اعداد ترانهایت و دیگر اعداد عجیب و غریب مثل اعداد گراسمان و ... نیست ؟
پی نوشت پنج : کانتور از دست این بینهایت دیوانه شد و مرد ! مواظب خود باشید !
پی نوشت شش : از آنجا که ریاضی علم بسیار پیچیده ای هست و من بیسواد هم اشتباه زیاد میکنم ، اگر جایی از مطلب اشتباه کرده ام ، به من بگویید تا درستش کنم .

از این مطلب خوشتان آمد ؟ اینها مطالب مرتبط با این مطلب هستند ، شاید از اینها هم خوشتان بیاید :

1- در باب راسل و سلمانی
2- مسافت غیر ممکن